시계 바늘 각도 구하기 문제

초등학교 산수 시간에 푸는 문제 중 시계 바늘 사이의 각도를 구하는 문제가 있습니다. 몇 시 몇 분을 알려주고 그 시간에 긴 바늘과 작은 바늘 사이의 각도를 구하는 문제. 누구나 한번씩 풀어봤을 겁니다.

 

이 문제를 푸는 각자의 방법이 있을 겁니다. 시계에 있는 12시간 표시 중에서 두 바늘 사이에 몇 칸이 있는지 구해보고 그 다음에 긴 바늘이 조금 더 움직인 각도를 더해주거나 빼주고... 뭐 이런 식이죠.

 

문제가 간단하면 다행인데, 예를 들어 3시라면 간단한 암산으로도 90도라는 걸 알 수 있습니다. 만약 문제가 어려우면 어떨까요? 예를 들어 3시 16분에 두 바늘 사이의 각도는 얼마일까요? 이건 일단 모양부터 간단치 않을 겁니다.

 

이 시계 바늘 각도 문제를 푸는 일반적인 방법을 생각해 봅시다. 원리는 이런 겁니다.

 

 

각도 A는 12시와 작은 바늘 즉, 시침 사이의 각도입니다. 각도 B는 12시와 긴 바늘, 분침 사이의 각도입니다. 이 두 각도의 차이가 바로 두 바늘 사이의 각도입니다. 시간에 따라서 A가 더 클 수도, B가 더 클 수도 있습니다만, 큰 값에서 작은 값을 빼주면 바로 두 바늘 사이의 각도가 되죠.

 

그럼 이 A, B를 각각 구해봅시다.

 

만약 h시 m분일 때 각도를 구한다고 생각합시다. 한바퀴(360도)는 12시간이니 1시간은 30도입니다. 그러니 시침은 일단 (30xh)도까지 가죠. 그 다음에 분침이 진행한 만큼 조금 더 갑니다. 시침은 60분에 30도를 움직이니, 조금 더 간 각도는 30x(m/60)이 됩니다. 약분해서 그냥 (m/2)가 되죠. 이를 합하면 되죠. 결국 A = 30h +  m/2 입니다.

 

B는 더 간단합니다. 60분에 360도를 움직이니 1분에 6도를 움직입니다. 그러니 m분이 흐르면 6m만큼 각도가 됩니다. 그러니 B = 6m

 

 

이렇게 됩니다. 이제 h시 m분일 때 두 시계 바늘 사이의 각도를 구하라는 문제는 위 식에서 A와 B를 구한 후 큰 값에서 작은 값을 빼면 됩니다.

 

그럼 위에서 말한 3시 16분을 구해볼까요? 위 식에 넣으면 A는 98, B는 96이 나옵니다. 차이는 2. 그러므로 2도입니다. 이걸 그림 그려가면서 구하려면 아마 잘 안될 겁니다.

 

그럼 이제 한발 더 나아가 봅시다. 매 시간마다 분침이 한바퀴를 도니, 매 시간마다 한번씩 시침과 분침이 일치하는 순간이 생깁니다. 그럼 그 때가 언제일까요?

 

두 바늘이 겹친다면 각도가 0이라는 의미고, 위 식에서 A와 B의 값이 같은 경우입니다. 그래서 두 식을 같다고 놓고 식을 풀면, 이렇게 됩니다.

 

 

h에 시간 값만 넣으면 몇 분에 바늘이 겹치는지 알 수 있죠. 위에서 예를 든 3시를 넣어보면, 16.3636363636... 이런 무한소수가 나옵니다. 딱 떨어지는 건 0시와 11시밖에 없죠. 그러므로 대략 3시 16분에서 17분 사이에 두 바늘이 겹친다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 제가 3시 16분이라는 문제를 낸 겁니다. ^^;

 

말만 복잡하지 실제 해보면 아주 간단한 초등산수입니다. 시계 바늘이 거의 겹쳐지는 아주 어려운 문제를 만들 수도 있죠. 주변 초등생한테 한번 써먹어 보세요.