베르누이 문제의 해답과 그 실험

베르누이라는 유명한 수학자가 있습니다. 아무튼 아주아주 유명하신 분인데, 이 분이 살아 있을 때 나름 재미난 일을 하나 벌입니다. 뭐냐면 나름 유럽에서 이름이 난 수학자들한테 뜬금없이 문제를 하나 던져두고 풀어보라고 합니다. 이건 뭐 거의 도발이라고 봐도 무방할 겁니다.

 

편지로 이 문제를 보내고, 정해진 기한 내에 답장을 보내라고 했다고 합니다. 그리고 물론 지금도 이름이 유명한 수학자들은 이 문제를 풀어서 보냈다고 합니다. 거기에는 뉴튼과 라이프니츠도 포함됩니다. 이 이야기는 예전 EBS에서 방영된 다큐멘터리 "문명과 수학" 제 4부에 소개되어 있습니다. 아래 사진도 그 다큐멘터리의 한 장면을 캡춰한 겁니다.

 

그럼 그 문제가 뭐냐 하면 바로 이겁니다.

 

높이가 다른 A와 B 두 지점이 있는데 이 두 지점을 잇는 선 위에 공을 굴릴 때 그 선이 어떤 모양일 때 공이 가장 빨리 굴러 내려올 것인가 하는 문제입니다. 위 그림처럼 단순히 직선으로 잇고 그 위에 공을 굴리면 가장 빠를 것 같지만 실제로 이건 정답이 아닙니다.

 

베르누이는 이미 풀어서 답을 알고 있었고, 다른 수학자들에게 이 문제로 도발을 한 겁니다. 이 문제는 워낙 유명해서 답은 이미 널리 알려져 있습니다. 직선이 아니라 아래로 파인 곡면인데, 정확한 수식은 잘 기억이 나지 않네요. 아무튼 저도 그렇게 알고 있습니다.

 

그럼 진짜로 그 곡면이 직선보다 더 빠르게 공이 굴러 내려올까 하는 의심도 듭니다. 저도 그렇게 들었으니 그려려니 하고 있었는데, 저만 궁금했던 것은 아니었는지 다른 곳에서 직접 실험을 했더군요.

 

아래처럼 확실하게 영상으로 보여주니 이해가 됩니다. 실제 실험결과는 이렇습니다.

 

 

위 실험은 세 가지 경로를 비교합니다. 직선, 최적화된 곡면, 더 많이 패인 곡면 이렇게 세 개 경로입니다. 그리고 똑같이 공을 굴립니다. 예상했던 것처럼 직선보다는 약간 패인 곡면에서 공이 더 빠르게 굴러 내려옵니다.

 

이렇게 시각적으로 확실하게 보여주니 속이 다 후련합니다.